各位读者，数学分析中的极值点和驻点概念虽然基础，但领会它们之间的关系却至关重要。简而言之，极值点可能出现在导数为零的驻点，也可能出现在导数不存在的点。在寻找函数的极值时，我们不仅要关注驻点，还要关注不可导点。希望这篇文章能帮助大家更好地领会这两个概念及其差异。
在数学分析中，极值点与驻点的关系一个基础且重要的难题，我们需要明确什么是极值点和驻点。
极值点，顾名思义，是函数在某点附近取到的局部最大值或最小值，而驻点则是指函数在该点处的导数为零的点，直观上，我们可能会认为函数的极值点一定是驻点，但实际上并非如此。
极值点不一定是驻点的缘故
1、导数不存在的情况：在某些情况下，函数在某点的导数可能不存在，但该点仍然可能是极值点，考虑函数 ( f(x) = |x| )，在 ( x = 0 ) 处，函数取得极小值，但 ( x = 0 ) 处的导数不存在，( x = 0 ) 不是驻点。
2、极值点的定义：极值点是函数在某段子区间内的极大值或极小值点的横坐标，由此可见，即使函数在某点的导数不存在，只要该点在函数的局部区间内取到极值，它仍然可以一个极值点。
函数的极值点一定是驻点吗？
当函数存在导数时，极值点一定是驻点，反之不一定正确，函数 ( f(x) = 0 ) 是函数的驻点（也是零点），但不是极值点，我们通常从函数的驻点中寻找极值点。
当函数存在导数时，函数的极值点是其导函数的变号零点，函数 ( f(x) = 0 ) 就是函数 ( f(x) ) 的极小值点。
极值点与最值点的区别
具有偏导数的极值点必是驻点，然而驻点不一定是极值点，最值点可以有多个，( y = sin x )，( 2kpi + racpi}2} ) 都是极值点，也是最值点，最值点也可能不存在，( y = x ) 在闭区间上一定有最大值点和最小值点，在开区间则不一定。
驻点和极值点的关系
驻点的定义
驻点是指函数在该点处的导数为零的点，在数学函数中，极值点分为极大值点和极小值点，它们都是函数局部性质的表现，极大值点是函数从递减变为递增的转折点，而极小值点则是函数从递增变为递减的转折点，这两者都与函数的导数密切相关。
驻点与极值点的关系
1、驻点是函数导数为0的点，但极值点不仅限于驻点，极值点可以出现在导数为0的点上，也可以出现在导数不存在的点上，极值点的范围比驻点更广。
2、对于可导函数，极值点一定是驻点，由于如果在某点处函数达到极值，根据微分中值定理，该点的导数必须为零，即该点为驻点，但驻点不一定是极值点，由于函数在某点的导数为零，只能说明该点是函数的拐点，附近可能有极值，但并非一定有极值。
3、驻点、极值点、拐点间的关系：
– 驻点与极值点的关系：驻点不一定是极值点，驻点仅表示函数在该点的导数为零，即函数在该点停止增减，但并不保证该点是局部的最大值或最小值。
– 函数 ( f = x^3 ) 在 ( x = 0 ) 处是驻点，但不是极值点。
– 驻点和极值点有密切关系，但并非所有驻点都是极值点，同样，不是所有极值点都是驻点。
为什么极值点不一定是驻点
1、导数不存在的情况：在某些情况下，函数在某点的导数可能不存在，但该点仍然可能是极值点，函数 ( f(x) = |x| ) 在 ( x = 0 ) 处取得极小值，但 ( x = 0 ) 处的导数不存在，( x = 0 ) 不是驻点。
2、极值点的定义：极值点是函数在某段子区间内的极大值或极小值点的横坐标，由此可见，即使函数在某点的导数不存在，只要该点在函数的局部区间内取到极值，它仍然可以一个极值点。
3、驻点与极值点的区别：驻点与极值点的区别在于，驻点仅表示函数在该点的导数为零，而极值点要求函数在该点附近取到局部最大值或最小值。
极值点一定是驻点吗？
1、导数不存在的情况：在某些情况下，函数在某点的导数可能不存在，但该点仍然可能是极值点，函数 ( f(x) = |x| ) 在 ( x = 0 ) 处取得极小值，但 ( x = 0 ) 处的导数不存在，( x = 0 ) 不是驻点。
2、极值点的定义：极值点是函数在某段子区间内的极大值或极小值点的横坐标，由此可见，即使函数在某点的导数不存在，只要该点在函数的局部区间内取到极值，它仍然可以一个极值点。
3、驻点与极值点的区别：驻点与极值点的区别在于，驻点仅表示函数在该点的导数为零，而极值点要求函数在该点附近取到局部最大值或最小值。
4、极值点与最值点的区别：最值点可以有多个，( y = sin x )，( 2kpi + racpi}2} ) 都是极值点，也是最值点，最值点也可能不存在，( y = x ) 在闭区间上一定有最大值点和最小值点，在开区间则不一定。
5、驻点或不可导点有可能是极值点，驻点和不可导点都可能是极值点，换句话说，极值点只能是驻点或不可导点，驻点或不可导点有可能是极值点，也有可能不是极值点。( x = 0 ) 是函数 ( y = |x| ) 的极小值点，却是不可导点；( x = 0 ) 是函数 ( y = x^3 ) 的驻点，却不是极值点。
6、驻点只要求一阶导数为0，而极值点不仅要求一阶导数为0，并且该点左右侧导数符号相反，也就是说，极值点的条件要强于驻点，极值一定是驻点，驻点未必是极值”。
7、驻点是 ( f(x) = 0 ) 的点是极值点；原函数在 ( x = 0 ) 点导数不为0，不是驻点，因此极值点不一定是驻点，驻点也不一定是极值点，极值点既可导也可不导，极值点可导的情况是驻点，不可导的情况可以是尖点或角点。
8、驻点根据其概念，只要一阶导数为0就可以了，也不是说一定是极值点。
函数的极值点不一定是驻点，这是由于极值点的定义和驻点的定义存在一定的区别，在分析函数的极值和最值时，我们需要导数、不可导点以及函数在特定区间内的性质。
